Θεωρία Ομάδων Τόμος Α'

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΗΣ Α ΕΚΔΟΣΗΣ

Είναι αρκετά γνωστός ο ρόλος που παίζει η συμμετρία στην κατανόηση του Φυσικού Κόσμου. Αρχικά αυτή ήτανε περιορισμένη στις αποκαλούμενες γεωμετρικές συμμετρίες. Η ύπαρξη των συμμετριών αυτών ανέδειξε την ύπαρξη μετασχηματισμών οι οποίοι οδηγούν από μία κατάσταση σε μία άλλη. Οι μετασχηματισμοί αυτοί αντι- στοιχούν σε στοιχεία ενός συνόλου που οι μαθηματικοί αποκαλούν ομάδα. Με τον τρόπο αυτό η συμμετρία συνδέθηκε με μία δομή γνωστή ως Θεωρία Ομάδων.

Η Θεωρία Ομάδων απέβη σημαντικό εργαλείο για τους Φυσικούς, όταν με την εισαγωγή της κβαντομηχανικής, ήρθαν στο προσκήνιο και οι λεγόμενες εσωτερικές συμμετρίες. Για λόγους πρακτικούς η Θεωρία Ομάδων περιλαμβάνει δύο ξεχωριστές κατηγορίες. Η πρώτη περιλαμβάνει τις λεγόμενες διακριτές ομάδες όταν τα στοιχεία της ομάδας είναι αριθμήσιμα, συνήθως πεπερασμένα τον αριθμό. Η δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνει τις συνεχείς ομάδες, δηλαδή την περίπτωση που τα στοιχεία της ομάδας είναι συνάρτηση ορισμένων παραμέτρων που μεταβάλλονται κατά συνεχή τρόπο σε μια περιοχή. Πιο γνωστές είναι οι Ομάδες Lie που σχετίζονται με τις άλγεβρες Lie.

Παλιότερα η διδασκαλία της θεωρίας των ομάδων ήτανε ενταγμένη εν μέρει στην άλγεβρα και εν μέρει στις Μαθηματικές Μεθόδους Φυσικής. ΄Ομως για να γίνει η Θεωρία Ομάδων χρήσιμο εργαλείο χρειάζεται να πάει πέρα από την κατανόηση των βασικών εννοιών και να εφοδιάσει το φοιτητή με τις τεχνικές ικανότητες να τη χρη- σιμοποιήσει σε ρεαλιστικές εφαρμογές, που απαντώνται σε διάφορους κλάδους της φυσικής. Για το λόγο αυτό το Φυσικό Τμήμα του Παν/μιου Ιωαννίνων προσφέρει ένα μάθημα επιλογής με αυτόν τον τίτλο. Τούτου δοθέντος έχει μπροστά του κανείς δύο δυνατότητες: να εστιάσει σε ένα συγκεκριμένο κλάδο της Φυσικής και να αναπτύξει τις αντίστοιχες τεχνικές ή να προσπαθήσει να παρουσιάσει το αντικείμενο από μία ευρύτερη σκοπιά που όχι μόνο θα ικανοποιεί την έφεση του νέου για μάθηση, αλλά θα δείξει τις διασυνδέσεις και ομοιότητες που υπάρχουν στην αντιμετώπιση των προβλημάτων των διαφόρων κλάδων της φυσικής.

Παρόλο που διεθνώς οι περισσότεροι συγγραφείς ακολουθούν τον πρώτο δρόμο, εμείς προτιμήσαμε την δεύτερη ατραπό. Κατά συνέπεια το σχετικό βιβλίο δεν συνιστάται ιδιαίτερα για τον επικούρειο τύπο που θέλει να εντρυφήσει στους τύπους ή τους πίνακες για βρει στα γρήγορα μία πλη- ροφορία ή να ξεκαθαρίσει τούτη ή την άλλη λεπτομέρεια. Για τον αναγνώστη που θα έχει το κουράγιο να το διαβάσει με προσοχή ή τον ερευνητή που είναι εξοικειωμένος με τις βασικές έννοιες, έχουν συμπεριληφθεί αρκετοί χρήσιμοι πίνακες. Οι πίνακες αυτοί μπορούν να κατασκευαστούν από τον φοιτητή ως κατ΄ οίκον εργασία ή να από τον φιλόπονο σπουδαστή για εμπέδωση της θεωρίας.  Πολύ απλές και προπάντων επεξηγηματικές της σχετικής θεωρίας εφαρμογές αναπτύχθηκαν με τη μορφή παρα- δειγμάτων. Πιο σύνθετες εφαρμογές εκτίθενται σε εδικά κεφάλαια τα οποία μπορούν να παραλειφθούν σε πρώτη ανάγνωση.

Στη μορφή που δίνεται το βιβλίο αυτό πάει πέρα από το να ικανοποιήσει τις ανάγκες ενός προπτυχιακού μαθήματος. Πολλά από τα επί πλέον αυτά θέματα μπορούν να δοθούν υπό μορφή διπλωματικής εργασίας ή να παρουσιαστούν σε ειδικά σεμινάρια. Είναι αυτονόητο ότι με την έλλειψη οργανωμένων μεταπτυχιακών σπουδών είχαμε κατά νουν τον Βοηθό, Επιστημονικό συνεργάτη και τον ΕΜΥ κυριολεχτικά πασχίζουν να αντλήσουν τις πληροφορίες που χρειάζονται από διάφορα εξειδικευμένα εγχειρίδια που υπάρχουν στη διεθνή βιβλιογραφία. Η μέχρι τώρα εμπειρία μας, αν και περιορισμένη, είναι ενθαρρυντική.

Εκρίθη σκόπιμο να παρουσιαστεί η Θεωρία Ομάδων σε δύο τεύχη.  Το παρόν τεύχος ασχολείται με τις Διακριτές Ομάδες, τη μελέτη των αναπαραστάσεών τους και τις εφαρμογές αυτών στη φυσική.  Η μελέτη των Συνεχών Ομάδων και των αναπαραστάσεων αυτών θα γίνει σε ξεχωριστό τεύχος.

Είμαι ιδιαίτερα ευγνώμων στον Φυσικό Μίλτο Χριστουλάκη που διέθεσε το ταλέντο του και πολύ από το χρόνο του στο σχεδιασμό πολλών σχημάτων και γενικά για την επιμέλεια και εμφάνιση της έκδοσης αυτής.

Ιωάννινα Μάιος 1991 Ι. Δ. Βεργαδος