Θεωρία μέτρου

Το παρόν σύγγραμα παρουσιάζει τη σύγχρονη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωσης, η οποία, από την θεμελίωσή της στις αρχές του 20ου αιώνα μέχρι σήμερα, κατέχει κεντρική θέση στη Μαθηματική Ανάλυση.Τα τέσσερα πρώτα κεφάλαια αναφέρονται σε μέτρα, ενώ τα υπόλοιπα τέσσερα στο ολοκλήρωμα Lebesgue και σε μετρήσιμες και ολοκληρώσιμες συναρτήσεις.

Στα επόμενα τέσσερα Κεφάλαια (9-12) αναπτύσσονται τα κεντρικά και θεμελιώδη θεωρήματα της θεωρίας μέτρου (Fubini, Radon- Nikodym,Riesz- Rischer, Riesz). Σημειώνουμε ότι ο αναγνώστης μπορεί να μελετήσει τα τελευταία δύο Κεφάλαια, το 13ο για τη Θεωρία Πιθανοτήτων και το 14ο για τη Αιαφόριση,αμέσως μετά τα πρώτα οκτώ κεφάλαια (με την εξαίρεση μερικών ασκήσεων). Οι γνώσεις που προαπαιτούνται για την μελέτη του βιβλίου δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλες. Απαιτείται η καλή γνώση της Πραγματικής Ανάλυσης, συμπεριλαμβανομένων και των βασικών ιδιοτήτων των μετρικών χώρων. Τοπολογικοί χώροι αναφέρονται κατ? ουσίαν μόνο στο Κεφάλαιο 12.

Οι Ασκήσεις (περισσότερες από 300 συνολικά) αποτελούν ουσιαστικό μέρος του βιβλίου. Ο αναγνώστης θα χρειασθεί να ασχοληθεί με ένα μεγάλο αριθμό από αυτές για την καλύτερη κατανόηση των εννοιών και αποτελεσμάτων της θεωρίας. Το επίπεδο τους κυμαίνεται από τις απλές εφαρμογές ορισμών μέχρι τις πολύ απαιτητικές και ενδιαφέρουσες (που συνήθως σημειώνονται με ένα αστερίσκο). Ορισμένες από αυτές, όπως και μερικά παραδείγματα χρησιμοποιούν στοιχεία συνολοθεωρίας (όπως είναι η υπερπεπερασμένη επαγωγή, οι διατακτικοί αριθμοί, η υπόθεση του συνεχούς ).

Για περισσότερα από τα δύο τρίτα των Ασκήσεων υπάρχουν στο τέλος του βιβλίου,πλήρεις ή μερικές, περιγραφές των λύσεών τους.