Ολοκληρωτικές εξισώσεις

Το βιβλίο αυτό γράφτηκε με σκοπό να χρησιμοποιηθεί ως διδακτικό για το μάθημα Ολοκληρωτικές Εξισώσεις του Προγράμματος Σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Το Κεφάλαιο 1 αρχίζει με την ταξινόμηση των Ολοκληρωτικών Εξισώσεων και την αναγωγή προβλημάτων αρχικών και συνοριακών τιμών σε Ολοκληρωτικές Εξισώσεις. Στην συνέχεια μελετώνται οι Ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί. Γίνεται μια επανάληψη και συμπλήρωση των Μετασχηματισμών Laplace και δίνονται εφαρμογές τους σε διαφορικές εξισώσεις (συνήθεις, υστερημένες,μερικές παραγώγους) και εξισώσεις διαφορών. Το Κεφάλαιο 1 τελειώνει με ορισμένα στοιχεία από άλλους Ολοκληρωτικούς Μετασχηματισμούς (Fourier,Hilbert, Mellin).

Οι Ολοκληρωτικές Εξισώσεις Volterra μελετώνται στο Κεφάλαιο 2.Το Κεφάλαιο 3 είναι αφιερωμένο στην κατασκευή και τις ιδιότητες των συναρτήσεων Green, οι οποίες είναι πολύ σημαντικές στην αναγωγή προβλημάτων συνοριακών τιμών σε Ολοκληρωτικές Εξισώσεις Fredholm. Το Κεφάλαιο 4 ασχολείται με μεθόδους επίλυσης Ολοκληρωτικών Εξισώσεων Fredholm. Εξετάζονται χωριστά οι περιπτώσεις διαχωρίσιμου και συμμετρικού πυρήνα. Επίσης παρουσιάζονται οι μέθοδοι των επιλυόντων και των επαναληπτικών πυρήνων καθώς και η μέθοδος του Fredholm Alternative.

Στο Κεφάλαιο 5 επιχειρείται μια βαθύτερη και πιο θεωρητική μελέτη των Ολοκληρωτικών Εξισώσεων. Εξετάζεται η ύπαρξη λύσεων με την βοήθεια θεωρημάτων σταθερού σημείου. Δίνονται αρχικά μερικά βασικά στοιχεία από τους χώρους Banach και Hilbert και στη συνέχεια δίνεται το Θεώρημα σταθερού ση-μείου του Banach. Εφαρμογές του κλασσικού αυτού θεωρήματος σε συνήθεις,σε γραμμικές και μη γραμμικές Ολοκληρωτικές Εξισώσεις Fredholm, Volterra και Hamerstein δίνονται στη συνέχεια.

Τέλος, μελετώνται οι φραγμένοι γραμμικοί τελεστές, οι συμπαγείς και πλήρως συνεχείς τελεστές και δίνεται μια εφαρμογή του Θεωρήματος σταθερού σημείου του Schauder. Στο Κεφάλαιο 6 δίνονται συμπληρωματικές ασκήσεις. Κάθε κεφάλαιο περιέχει αρκετά μεθοδικά λυμένα παραδείγματα και έναν ικανό αριθμό ασκήσεων για λύση. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν διάφοροι χρήσιμοι πίνακες, απαντήσεις, υποδείξεις ή πλήρεις λύσεις όλων των ασκήσεων καθώς και θέματα εξετάσεων.