Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής, Τόμος ΙΙ

Το παρόν βιβλίο Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ, αποτελεί συνέχεια του αντιστοίχου Ι, ως προς τους στόχους. Επιχειρεί δηλαδή να αναπτύξει διεξοδικά μεθόδους λύσεις προβλημάτων που αφορούν την Θεωρητική και Εφαρμοσμένη Φυσική, τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και τις Επιστήμες των Μηχανικών. Ιδιαίτερα προσφέρεται για την κατάρτισητων φοιτητών που επιθυμούν να σπουδάσουν τα αντικείμενα αυτά. Η παρούσα μελέτη εστιάζεται στα εξής θέματα:

α) Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ). Το κεφάλαιο αυτό ξεκινάει με την επίλυση απλών εξισώσεων πρώτης τάξης (ομογενείς, τέλεια διαφορικά, ολοκληρωτικός παράγων Euler, μετασχηματισμοί Legendre) με εφαρμογές στην κλασσική μηχανική, την θερμοδυναμική και τον ηλεκτρομαγνητισμό. Συνεχίζει με τις διάσημες ΔΕ Beroulli και Ricccati, τις αυτόνομες εξισώσεις και εκείνες που έχουν συμμετρίες κλίμακας. Ακολουθεί η μελέτη των γραμμικών ΔΕ, ομογενών και μη, αναπτύσσονται μέθοδοι επίλυσης αυτών, ιδιαίτερα με σταθερούς συντελεστές, και δίνονται χρήσιμες εφαρμογές. Ύστερα έρχεται η επίλυση γραμμικών ΔΕ 2ης τάξης με τη μέθοδο Frobenius (αναπαράσταση των λύσεων μέσω δυναμοσειρών) και ακολουθεί η ενδιαφέρουσα και πολύ χρήσιμη, έκφραση των λύσεων αυτών μέσω ολοκληρωτικών αναπαραστάσεων.

β) Κλασσικές συναρτήσεις: Εδώ μελετώνται οι συναρτήσεις Lgendre α΄ και β΄ είδους, οι Σφαιρικές Αρμονικές, οι διάφορες συναρτήσεις Bessel (συνήθεις α΄ και β΄ είδους, οι τροποποιημένες, οι σφαιρικές και η ασυμπτωτική συμπεριφορά τους), οι συναρτήσεις Laguerre και Hermite με αρκετές εφαρμογές.

γ) Συστήματα Sturm Liouville. Είναι χρήσιμα στη μελέτη των ιδιοσυναρτήσεων αυτοπροσαρτημένων τελεστών.

δ) Συναρτήσεις Green. Αυτές χρησιμοποιούνται στη λύση μη ομογενών ΣΔΕ και, κυρίως, εκείνων με μερικές παραγώγους(ΔΕΜΠ). Παρουσιάζονται επίσης στην επίλυση ρεαλιστικών προβλημάτων ιδιοτιμής και στη θεωρία σκέδασης. Είναι το μαθηματικό εργαλείο που επιτρέπει την μετατροπή μίας διαφορικής εξίσωσης σε ολοκληρωτική (με ενσωματωμένες τις συνοριακές συνθήκες).

ε) Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους (ΔΕΜΠ). Γίνεται η παραγωγή των πιο συνηθισμένων ΔΕΜΠ και συζητούνται για κάθε μία οι κατάλληλες αρχικές και συνοριακές συνθήκες. Γίνεται ταξινόμηση των γραμμικών ΔΕΜΠ 2ης τάξης (ελλειπτικές, υπερβολικές, παραβολικές, χαρακτηριστικές επιφάνειες). Αναπτύσσεται και αξιοποιείται η μέθοδος του ξεχωρισμού των μεταβλητών, επιλύοντας προβλήματα πρακτικού ενδιαφέροντος (κυματικά, διάχυσης και ηλεκτρομαγνητισμού). Αναπτύσσεται η λύση των ΔΕΜΠ με μη ομογενείς συνθήκες (Τύπος του Stokes, κατασκευή Kirkoff και D’Alembert, κατασκευή με τις συναρτήσεις Green). ΄Ενα κεφάλαιο πλούσιο σε εφαρμογές.__